Definición analítica
Podemos introducir la función logarítmica como una función analítica que es de hecho la función primitiva de otra función analítica bien conocida. Para definir de esa manera el logaritmo empezamos con algunas observaciones:
- La derivada de la función
es 
. Al dividir ambos lados de la expresión entre "n" y observar el resultado, se puede afirmar que una primitiva de 
es 
(con 
). - Este cálculo obviamente no es válido cuando m = − 1, porque no se puede dividir por cero. Por lo tanto, la función inversa
es la única función "potencia" que no tiene una primitiva "potencia". - Sin embargo, la función es continua sobre el rango
lo que implica que tiene forzosamente una primitiva en este intervalo, y también sobre 
.
A la función analítica cuya existencia se deduce de las observaciones anteriores la llamaremos función logaritmo, y la definiremos convencionalmente como:
![[\ln(x)]^\prime = \frac {1}{x}, \qquad \ln (1) = 0](http://upload.wikimedia.org/math/0/3/f/03f8657f7a6e6630e1d92e4da99ac31b.png)
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