Ampliación de Matemáticas
Blog del grupo de alumnos de Ampliación de Matemáticas del I.E.S. Albéniz de Alcalá de Henares
domingo, 19 de diciembre de 2010
Ecuaciones logaritmicas
Para resolver ciertas ecuaciones logarítmicas se debe aplicar la definición de dicha operación. Luego de obtenidos los valores, se deben verificar, descartando aquellos que no cumplan con las condiciones de la logaritmación
Log 2(x-1) = -1
x-1 = 2-1
x= ½ + 1
x= 3/2
En algunas ecuaciones logarítmicas se deben aplicar las propiedades de la logaritmación para hallar la solución
Log 3(x+4)+Log3(x-4)=2 2Log2x2 -2Log3(-x)=4
Log 3[(x+4)(x-4)] = 2 Log2(x2)2-Log2(-x)2=4
Log 3(x2-16) = 2 Log 2x4 - Log 2x2 = 4
x2-16 = 32 Log 2(x4 /x2)=4
x2 = 9 + 16 x2 = 24
x2 = 25 x2 = 16
x = ± 5 x = ± 4
En la primer ecuación, solo se verifica la solución positiva: x=5, mientras que en la segunda solo la negativa: x=-4
En otras ecuaciones logarítmicas es necesario realizar un cambio de variable.
(Log 2x)2-5Log2x+4=0 Cambio de variable:
z = Log2x
Nueva ecuación a resolver: z2-5z+4=0, de la cual resulta z1=4 y z2=1. Utilizando el cambio de variable, tenemos las siguientes ecuaciones: Log2x = 4 y Log2x=1, de las que obtenemos, aplicando la definición de logaritmos: x1=16 y x2=2.
sábado, 18 de diciembre de 2010
antilogaritmos
Es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso al cálculo del logaritmo de un número.
es decir, consiste en elevar la base al número resultado :
jueves, 16 de diciembre de 2010
Logaritmos Decimales y Neperianos
De todas las posibles bases que pueden tomarse para los logaritmos, las más usuales son la base 10 y la base e.
Los logaritmos que tienen base 10 se llaman logaritmos decimales, logaritmos vulgares o logaritmos de Briggs, y para representarlos se escribe sencillamente log sin necesidad de especificar la base:
log10 X = log X
Las tablas que tradicionalmente se han usado para calcular logaritmos, son tablas de logaritmos decimales.
Se escriben a continuación algunos ejemplos de logaritmos decimales:
log 1 = 0; puesto que 100 = 1. log 10 000 = 4; puesto que 104 = 10 000.
log 10 = 1; puesto que 101 = 10. log 0,1 = -1; puesto que 10-1 = 0,1.
Los logaritmos que tienen base e se llaman logaritmos neperianos o naturales. Para representarlos se escribe ln o bien L:
loge X = ln X = LX
Algunos ejemplos de logaritmos neperianos son:
ln 1 = 0; puesto que e0 = 1
ln e2 = 2; puesto que e2 = e2
ln e-1 = -1; puesto que e-1 = e-1
El número e tiene gran importancia en las Matemáticas. No es racional (no es cociente de dos números enteros) y es el límite de la sucesión
Su valor, con seis cifras decimales, es
e = 2,718281...
http://www.youtube.com/watch?v=PlQO3wkWeWw&feature=related
leyes y tipos de logaritmos
1.) logb (MN) = logb M + logb N Ejemplo:
log2 (8x16) = log2 8 + log2 16
log2 128 = 3 + 4
7 = 7
2.) logb (M/N) = logb M – logb N Ejemplo:
log3 (27/3) = log3 27 – log3 3
log3 9 = 3 – 1
2 = 2
3.) logb Mn = n logb M Ejemplo:
log2 322 = 2 log2 32
log2 1024 = 2 ( 5 )
10 = 10
Logaritmos comunes
Logaritmos comunes son logaritmos con base 10. Si no se escribe la base, se sobreentiende que la misma es 10.
Esto es, log 1000 = log10 1000 = 3
Logaritmos naturales
Logaritmos naturales (ln) son logaritmos con base e=2.71828…
Esto es, ln 42 = loge 42
Logaritmos en otras bases
LogM N Ejemplo: Log3 56 = = 3.664
Tipos de problemas
Sólo hay tres tipos de problemas de logaritmos. Estos son:
1) Dados la base y el logaritmo, hallar el argumento (potencia).
Ejemplo: Log3 x = - 4
Solución: La forma exponencial equivalente a la forma dada es: 3-4 = x
(1/3)4 = x
1/81 = x
2) Dado el argumento y el logaritmo, hallar la base.
Ejemplo: Logx 2 = 1/5
Solución: Forma exponencial: x1/5 = 2
(x1/5))5 = 25
3) Dados el argumento y la base, hallar el logaritmo.
Ejemplo: Log2 7 = = 2.8…
Ecuaciones exponenciales
Ecuaciones exponenciales son aquellas que tienen la variable en el exponente. Para resolverlas hay que usar logaritmos para bajar el exponente.
Ejemplos: Resuelva las siguientes ecuaciones
1) 2x = 7
Solución: Aplicar logaritmos base 10 en ambos lados
log 2x = log 7
xlog 2 = log 7
x =
x = 2.8…
Uso de la calculadora para la combinatoria.
miércoles, 15 de diciembre de 2010
Principio de la caja de Dirichlet
Principio de distribución, del palomar o del cajón de Dirichlet. Sean m, n y p tres números naturales. Si se desean colocar np + m objetos en n cajas, alguna caja debe contener al menos p + 1 objetos.
Demostración. Si cada caja contiene como mucho p objetos, el número total de objetos que podemos colocar es np <>
En su versión más simple, este principio dice que no puede existir una aplicación inyectiva entre un conjunto de m elementos y otro de n elementos, si m > n. Equivalentemente, si se desean colocar m objetos en n cajas, con m > n, al menos una caja debe contener al menos 2 objetos.
Ejemplo:
Una oficina emplea a 13 oficinistas, por lo que al menos dos de ellos deben cumplir años durante el mismo mes.
Los 13 oficinistas son las palomas y los 12 meses del año son los nidos. A cada paloma le corresponde un nido (el mes en que cumple años). Como hay más palomas que nidos, hay al menos un nido (mes) con dos o más palomas (oficinistas que cumplen en ese mes).
Ejercicios:
1-Demuestre que si 8 personas están en una habitación, al menos dos de ellas cumplen años el mismo día de la semana.
2-En una lista de 600.000 palabras, donde cada palabra consta de 4 o menos letras minúsculas, ¿pueden ser las 600.000 palabras distintas?
3-Si una persona puede tener no más de 200.000 cabellos, ¿es posible que en una ciudad de 300.000 habitantes haya dos personas con la misma cantidad de cabellos en la cabeza?
4-¿Cuántas veces debemos tirar un sólo dado para obtener el mismo resultado?
a) al menos dos veces.
b) al menos tres veces.
c) al menos n veces, para
Respuestas correctas a los ejercicios:
1-
Las palomas son las personas y los nidos son los días de la semana. Como hay 8 palomas y 7 nidos, hay algún nido con más de una paloma, es decir, hay algún día de la semana en el cual cumplen años dos (o más) de esas personas.
2-
El número de palabras diferentes de 4 o menos letras es
274 + 273 + 272 + 27 = 551.880 (sumamos todas las palabras posibles de 4 letras, todas las palabras de 3 letras, todas las de dos letras y todas las de 1 letra.)
Las 551.880 palabras son los nidos y las 600.000 palabras de la lista son las palomas, por lo que al menos una palabra se repite.
3-
Si, es seguro que existen dos personas con la misma cantidad de cabellos.
Las palomas son las 300.000 personas y los nidos son las cantidades de cabellos (0,1,2,...,200.000). A cada "paloma" le corresponde uno de esos "nidos". Como hay más palomas que nidos, hay algún nido (cantidad) con más de una paloma (habitante).
4-
a)
Los "nidos" son los 6 resultados posibles (1,2,3,4,5,6). Las "palomas" son las tiradas, cada una de ellas "cae" en un nido.
La cantidad de palomas necesaria para que en alguno de los 6 nidos haya dos o más, es 7.
Alcanza con que el dado se tire 7 veces.
b)
Queremos que haya un nido con 3 o más palomas. Si hay 12 palomas (o menos) esto no está garantizado, pues podrían ubicarse dos en cada nido. Pero si hay 13 palomas está claro que tiene que haber 3 o más en algún nido.
||| || || || || ||
--- -- -- -- -- --
1 2 3 4 5 6
c)
Queremos que haya un nido con (al menos) n palomas. Podemos pensar qué cantidad máxima de palomas puede haber, sin la necesidad de que haya un nido con n palomas. Esto ocurre cuando hay n-1 palomas en cada nido, es decir
1
n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 n-1
--- --- --- --- --- ---
1 2 3 4 5 6
Se necesitan 6(n-1) + 1 tiradas.
Orígenes de los logaritmos
lunes, 13 de diciembre de 2010
Logaritmos
- La derivada de la función es . Al dividir ambos lados de la expresión entre "n" y observar el resultado, se puede afirmar que una primitiva de es (con ).
- Este cálculo obviamente no es válido cuando m = − 1, porque no se puede dividir por cero. Por lo tanto, la función inversa es la única función "potencia" que no tiene una primitiva "potencia".
- Sin embargo, la función es continua sobre el rango lo que implica que tiene forzosamente una primitiva en este intervalo, y también sobre .