Logaritmo es solo otra forma de expresar la potenciación
¿Qué es el logaritmo?
El logaritmo es "EL EXPONENTE "
Logaritmos
A las operaciones, ya conocidas, de Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Potenciación y Radicación, añadimos una nueva que llamamos Logaritmación.
Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir : productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes.
Como podemos ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente , hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos.
La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del sistema de logaritmos. La potencia ab
para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0.
La función logarítmica (o función logaritmo) es una aplicación biyectiva del conjunto de los números reales positivos, sin el cero, en el conjunto de los números reales :
¿Cuantos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?
Al tratarse de números el orden importa y además nos dice "cifras distintas" luego no pueden repetirse.
Por tanto, se pueden formar 504 números :
Ejemplo (Variaciones CON repetición) :
¿Cuantos números de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?
Al tratarse de números el orden importa y además no dice nada sobre "cifras distintas" luego si pueden repetirse.
Por tanto, se pueden formar 729 números :
¿Cuantas palabras distintas de 10 letras (con o sin sentido) se pueden escribir utilizando sólo las letras a, b?
Al tratarse de palabras el orden importa y además como son palabras de 10 letras y sólo tenemos dos para formarlas, deben repetirse.
Por tanto, se pueden formar 1024 palabras :
Ejemplo (Permutaciones SIN repetición) :
Con las letras de la palabra DISCO ¿cuantas palabras distintas se pueden formar?
Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa. Y además n = m, es decir tenemos que formar palabras de cinco letras con cinco elementos D, I, S, C, O que no están repetidos.
Por tanto, se pueden formar 120 palabras :
Ejemplo (Permutaciones CON repetición) :
¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules?
El orden importa por ser de distinto color, pero hay bolas del mismo color (están repetidas) y además n = m, es decir colocamos 9 bolas en linea y tenemos 9 bolas para colocar.
Por tanto, tenemos 1260 modos de colocarlas :
Ejemplo (Combinaciones SIN repetición) :
Cuantos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los treinta alumnos de una clase. (Un grupo es distinto de otro si se diferencia de otro por lo menos en un alumno)
No importa el orden (son grupos de alumnos). No puede haber dos alumnos iguales en un grupo evidentemente, luego sin repetición.
Por tanto, se pueden formar 142506 grupos distintos :
Ejemplo (Combinaciones CON repetición) :
En una confiteria hay cinco tipos diferentes de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro pasteles) No importa el orden (son pasteles). Puede haber dos o más pasteles en un grupo, luego con repetición. Por tanto, se pueden formar 142506 grupos distintos :
Los diagramas en árbol son muy útiles para "fabricar" cualquier tipo de agrupación, ya sean variaciones, permutaciones o combinaciones.En el ejemplo aparece un diagrama en árbol que forma todas las permutaciones de los elementos del conjunto {a, b, c}.
La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.
Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones,según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos:
Definición:
Las variaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con pelementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.El número de variaciones que se pueden constriur se puede calcular mediante la fórmula:
Definición:
Las variaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con pelementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.El número de variaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:
Permutaciones SIN repetición:
Las permutaciones sin repetición de n elementos se definen como las distintas formas de ordenar todos esos elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación de sus elementos.
Permutaciones CON repetición: Llamamos a las permutaciones con repetición de n elementos tomados de aen a, de b en b, de c en c, etc, cuando en los n elementos existen elementos repetidos (un elemento aparece a veces, otro b veces, otro c veces, etc) verificándose que a+b+c+...=n. El número de estas permutaciones será:
Definición:
Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con pelementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).El número de combinaciones que se pueden constriur se puede calcular mediante la fórmula:
Definición:
Las combinaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con pelementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los nelementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).El número de combinaciones que se pueden constriur se puede calcular mediante la fórmula:
Hallar la suma de los cincuenta primeros números que son múltiplos de cinco.
Solución: Deberemos recordar que los múltiplos de 5 aumentan de 5 en 5, por lo tanto la diferencia entre dos números consecutivos es cinco. a1 = 5; an = ?; d = 5; S = ?; n = 50
Sucesión de Fibonacci
Prueba esto: empieza con un 1 de la izquierda, da un paso arriba y uno al lado, suma los cuadrados donde caigas (como en el dibujo)... las sumas que salen son la sucesión de Fibonacci.(La sucesión de Fibonacci se hace sumando dos números para conseguir el siguiente, por ejemplo 3+5=8, después 5+8=13, etc.)
Las 15 primeras líneas:
Como referencia, aquí tienes las filas 0 a 14 del triángulo de Pascal ( el triángulo es simétrico).
El teorema del binomio, descubierto hacia 1664-1665, fue comunicado por primera vez en dos cartas dirigidas en 1676 a Henry Oldenburg (hacia 1615-1677), secretario de la Royal Society que favorecía los intercambios de correspondencia entre los científicos de su época.
En la primera carta, fechada el 13 de junio de 1676, en respuesta a una petición de Leibniz que quería conocer los trabajos de matemáticos ingleses sobre series infinitas, Newton presenta el enunciado de su teorema y un ejemplo que lo ilustra, y menciona ejemplos conocidos en los cuales se aplica el teorema. Leibniz responde, en una carta fechada el 17 de agosto del mismo año, que está en posesión de un método general que le permite obtener diferentes resultados sobre las cuadraturas, las series, etc., y menciona algunos de sus resultados. Interesado por las investigaciones de Leibniz, Newton le responde también con una carta fechada el 24 de octubre en la que explica en detalle cómo ha descubierto la serie binómica.
Aplicando los métodos de Wallis de interpolación y extrapolación a nuevos problemas, Newton utilizó los conceptos de exponentes generalizados mediante los cuales una expresión polinómica se transformaba en una serie infinita. Así estuvo en condiciones de demostrar que un buen número de series ya existentes eran casos particulares, bien directamente, bien por diferenciación o integración.
El descubrimiento de la generalización de la serie binómica es un resultado importante de por sí; sin embargo, a partir de este descubrimiento Newton tuvo la intuición de que se podía operar con series infinitas de la misma manera que con expresiones polinómicas finitas. El análisis mediante las series infinitas parecía posible, porque ahora resultaban ser una forma equivalente para expresar las funciones que representaban.
Newton no publicó nunca el teorema del binomio. Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 en su Algebra, atribuyendo a Newton este descubrimiento.
El binomio de Newton sirve para calcular potencias de binomios y su formula es:
¿ Como desarrollar el binomio de forma práctica? Aquí os dejo una página web con algunos ejercicios resueltos para que practiqueis con ellos y lo comprendais más facilmente.
Bueno,aqui os dejo unos videos bastantes buenos,cortos y faciles de entender que nos hablan sobre la combinatoria. Los videos nos van a hablar sobre: -Combinaciones. -Permutaciones con repeticiones -Permutaciones sin repeticiones -Variaciones con repeticiones
