Uso de la calculadora para la combinatoria.

Aquí os dejo un video que muestra como realizar calculos de combinatoria mediante la calculadora.

Principio de la caja de Dirichlet

Principio del palomar :

-El principio del palomar, también llamado principio de Dirichlet, establece que si n palomas se distribuyen en m palomares, y si n > m, entonces al menos habrá un palomar con más de una paloma. Otra forma de decirlo es que m huecos pueden albergar como mucho m objetos si cada uno de los objetos está en un hueco distinto, así que el hecho de añadir otro objeto fuerza a volver a utilizar alguno de los huecos.

Principio de distribución, del palomar o del cajón de Dirichlet. Sean m, n y p tres números naturales. Si se desean colocar np + m objetos en n cajas, alguna caja debe contener al menos p + 1 objetos.

Demostración. Si cada caja contiene como mucho p objetos, el número total de objetos que podemos colocar es np <>

En su versión más simple, este principio dice que no puede existir una aplicación inyectiva entre un conjunto de m elementos y otro de n elementos, si m > n. Equivalentemente, si se desean colocar m objetos en n cajas, con m > n, al menos una caja debe contener al menos 2 objetos.

Ejemplo:

Una oficina emplea a 13 oficinistas, por lo que al menos dos de ellos deben cumplir años durante el mismo mes.
Los 13 oficinistas son las palomas y los 12 meses del año son los nidos. A cada paloma le corresponde un nido (el mes en que cumple años). Como hay más palomas que nidos, hay al menos un nido (mes) con dos o más palomas (oficinistas que cumplen en ese mes).

Ejercicios:

1-Demuestre que si 8 personas están en una habitación, al menos dos de ellas cumplen años el mismo día de la semana.

2-En una lista de 600.000 palabras, donde cada palabra consta de 4 o menos letras minúsculas, ¿pueden ser las 600.000 palabras distintas?

3-Si una persona puede tener no más de 200.000 cabellos, ¿es posible que en una ciudad de 300.000 habitantes haya dos personas con la misma cantidad de cabellos en la cabeza?

4-¿Cuántas veces debemos tirar un sólo dado para obtener el mismo resultado?

a) al menos dos veces.

b) al menos tres veces.

c) al menos n veces, para n >= 4.

Respuestas correctas a los ejercicios:

1-

Las palomas son las personas y los nidos son los días de la semana. Como hay 8 palomas y 7 nidos, hay algún nido con más de una paloma, es decir, hay algún día de la semana en el cual cumplen años dos (o más) de esas personas.

2-

El número de palabras diferentes de 4 o menos letras es
27⁴ + 27³ + 27² + 27 = 551.880 (sumamos todas las palabras posibles de 4 letras, todas las palabras de 3 letras, todas las de dos letras y todas las de 1 letra.)
Las 551.880 palabras son los nidos y las 600.000 palabras de la lista son las palomas, por lo que al menos una palabra se repite.

3-

Si, es seguro que existen dos personas con la misma cantidad de cabellos.
Las palomas son las 300.000 personas y los nidos son las cantidades de cabellos (0,1,2,...,200.000). A cada "paloma" le corresponde uno de esos "nidos". Como hay más palomas que nidos, hay algún nido (cantidad) con más de una paloma (habitante).

4-

a)

Los "nidos" son los 6 resultados posibles (1,2,3,4,5,6). Las "palomas" son las tiradas, cada una de ellas "cae" en un nido.
La cantidad de palomas necesaria para que en alguno de los 6 nidos haya dos o más, es 7.
Alcanza con que el dado se tire 7 veces.

b)

Queremos que haya un nido con 3 o más palomas. Si hay 12 palomas (o menos) esto no está garantizado, pues podrían ubicarse dos en cada nido. Pero si hay 13 palomas está claro que tiene que haber 3 o más en algún nido.

  ||| || || || || ||

  --- -- -- -- -- --

  1  2  3  4  5  6  

Se necesitan 13 tiradas.

c)

Queremos que haya un nido con (al menos) n palomas. Podemos pensar qué cantidad máxima de palomas puede haber, sin la necesidad de que haya un nido con n palomas. Esto ocurre cuando hay n-1 palomas en cada nido, es decir 6(n-1) palomas. En este punto, si se agrega otra paloma, habrá n palomas en un nido.

1

n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 n-1    

--- --- --- --- --- ---

1  2  3  4  5  6   
Se necesitan 6(n-1) + 1 tiradas.

COMBINATORIA. Ejercicios aplicados a las técnicas de uso

• Ejemplo (Variaciones SIN repetición) :

¿Cuantos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?
Al tratarse de números el orden importa y además nos dice "cifras distintas" luego no pueden repetirse.
Por tanto, se pueden formar 504 números :

• Ejemplo (Variaciones CON repetición) :

¿Cuantos números de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?
Al tratarse de números el orden importa y además no dice nada sobre "cifras distintas" luego si pueden repetirse.
Por tanto, se pueden formar 729 números :

¿Cuantas palabras distintas de 10 letras (con o sin sentido) se pueden escribir utilizando sólo las letras a, b?
Al tratarse de palabras el orden importa y además como son palabras de 10 letras y sólo tenemos dos para formarlas, deben repetirse.
Por tanto, se pueden formar 1024 palabras :

• Ejemplo (Permutaciones SIN repetición) :

Con las letras de la palabra DISCO ¿cuantas palabras distintas se pueden formar?
Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa. Y además n = m, es decir tenemos que formar palabras de cinco letras con cinco elementos D, I, S, C, O que no están repetidos.
Por tanto, se pueden formar 120 palabras :

• Ejemplo (Permutaciones CON repetición) :

¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules?
El orden importa por ser de distinto color, pero hay bolas del mismo color (están repetidas) y además n = m, es decir colocamos 9 bolas en linea y tenemos 9 bolas para colocar.
Por tanto, tenemos 1260 modos de colocarlas :

• Ejemplo (Combinaciones SIN repetición) :

Cuantos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los treinta alumnos de una clase. (Un grupo es distinto de otro si se diferencia de otro por lo menos en un alumno)
No importa el orden (son grupos de alumnos). No puede haber dos alumnos iguales en un grupo evidentemente, luego sin repetición.
Por tanto, se pueden formar 142506 grupos distintos :

• Ejemplo (Combinaciones CON repetición) :

En una confiteria hay cinco tipos diferentes de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro pasteles)
No importa el orden (son pasteles). Puede haber dos o más pasteles en un grupo, luego con repetición.
Por tanto, se pueden formar 142506 grupos distintos :

Diagrama en árbol.

Los diagramas en árbol son muy útiles para "fabricar" cualquier tipo de agrupación, ya sean variaciones, permutaciones o combinaciones.En el ejemplo aparece un diagrama en árbol que forma todas las permutaciones de los elementos del conjunto {a, b, c}.

COMBINATORIA.Tecnicas de recuento.

¿Que es la combinatoria?

La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.

Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones,según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos:

Variaciones sin repetición.

Definición:
Las variaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.El número de variaciones que se pueden constriur se puede calcular mediante la fórmula:

Variaciones con repetición.

Definición:
Las variaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.El número de variaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:

Permutaciones SIN repetición:

Las permutaciones sin repetición de n elementos se definen como las distintas formas de ordenar todos esos elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación de sus elementos.

El número de estas permutaciones será:

Permutaciones con repetición.

Permutaciones CON repetición:
Llamamos a las permutaciones con repetición de n elementos tomados de aen a, de b en b, de c en c, etc, cuando en los n elementos existen elementos repetidos (un elemento aparece a veces, otro b veces, otro c veces, etc) verificándose que a+b+c+...=n. El número de estas permutaciones será:

Combinaciones sin repetición.

Definición:
Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).El número de combinaciones que se pueden constriur se puede calcular mediante la fórmula:

Combinaciones con repetición

Definición:
Las combinaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los nelementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).El número de combinaciones que se pueden constriur se puede calcular mediante la fórmula:

Triángulo de Pascal

Sucesión de Fibonacci
Prueba esto: empieza con un 1 de la izquierda, da un paso arriba y uno al lado, suma los cuadrados donde caigas (como en el dibujo)... las sumas que salen son la sucesión de Fibonacci.(La sucesión de Fibonacci se hace sumando dos números para conseguir el siguiente, por ejemplo 3+5=8, después 5+8=13, etc.)

Las 15 primeras líneas:

Como referencia, aquí tienes las filas 0 a 14 del triángulo de Pascal ( el triángulo es simétrico).

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1
1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1

Combinatoria

Bueno,aqui os dejo unos videos bastantes buenos,cortos y faciles de entender que nos hablan sobre la combinatoria. Los videos nos van a hablar sobre:
-Combinaciones.
-Permutaciones con repeticiones
-Permutaciones sin repeticiones
-Variaciones con repeticiones

1ºVideo: Combinaciones

2ºVideo: Permutaciones con repeticiones

3ºVideo: Permutaciones sin repeticiones

4ºVideo: Variaciones con repeticiones

Introducción a la combinatoria.

A menudo nos preguntamos qué utilizad tienen ciertas cosas, en nuestro ámbito ciertos cálculos matemáticos. Pues bien, veamos ahora como surgió la combinatoria y la conexión que tiene con la probabilidad.

En estos videos se me muestra perfectamente, no son muy largos ni complicados, pero tienen una amplia y rápida teoría, con numerosos ejemplos y ejercicios.

1.

http://www.youtube.com/watch?v=0ye_s_es4BY
2.
http://www.youtube.com/watch?v=9-1-iVHNScQ&feature=related
3.
http://www.youtube.com/watch?v=794XCsHGw6c&feature=related
4.
http://www.youtube.com/watch?v=QCWUOzpt9NM&feature=related


No obstante, hagamos incapié teórico en el recuento y en las combinaciones con repetición y sin repetición.

-EL RECUENTO.

A menudo se presenta la necesidad de calcular el número de maneras distintas en que un suceso se presenta o puede ser realizado. Otras veces es importante determinar la probabilidad de ocurrencia de un evento específico. En ambos casos se apela al sentido común, o se establecen métodos que permitan sistematizar tales cálculos. Con frecuencia el sentido común ayuda a entender por qué se eligió un procedimiento dado, mientras que la formalización del cálculo las vías para encontrar las soluciones apropiadas.

Iniciaremos nuestro estudio de teoría combinatoria enunciando los principios aditivo y multiplicativo de conteo.

Principio aditivo de conteo: Sean A y B dos sucesos que no pueden ocurrir simultáneamente. Si A ocurre de a maneras distintas y B ocurre de b maneras distintas, el número de maneras en el cual puede ocurrir A o B es A +B

Principio multiplicativo de conteo: Si un suceso puede ocurrir en a maneras e, independientemente, un segundo suceso puede ocurrir en b maneras, entonces el número de maneras en que ambos, A y B, pueden ocurrir ab.

A este principio también se le denomina principio fundamental de conteo.

- DEFINICIONES DE COMBINACIONES SIN REPETICIÓN:

Definición: Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos). El número de combinaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:

- DEFINICIÓN Y FORMULA DE VARIACIONES CON REPETICIÓN:

Definición: Las combinaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos). El número de combinaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula: con repetición SI

No obstante, en la siguiente página web se presenta un cuadro con las diferentes y más importantes agrupaciones estudiadas en la clase de Ampliación de Matemáticas.

Sean estas combinaciones, permutaciones y variaciones.

http://personal.iddeo.es/ztt/Tem/F4_Combinatoria.htm

Introducción a la Combinatoria

Primera entrada sobre Combinatoria

Ejercicio de número combinatorios.

En este vídeo se puede ver un ejemplo de ecuación en el que interviene un número combinatorio y las propiedades de los números combinatorios para resolverlo.