Blog del grupo de alumnos de Ampliación de Matemáticas del I.E.S. Albéniz de Alcalá de Henares
domingo, 19 de diciembre de 2010
Ecuaciones logaritmicas
Para resolver ciertas ecuaciones logarítmicas se debe aplicar la definición de dicha operación. Luego de obtenidos los valores, se deben verificar, descartando aquellos que no cumplan con las condiciones de la logaritmación
Log 2(x-1) = -1
x-1 = 2-1
x= ½ + 1
x= 3/2
En algunas ecuaciones logarítmicas se deben aplicar las propiedades de la logaritmación para hallar la solución
Log 3(x+4)+Log3(x-4)=2 2Log2x2 -2Log3(-x)=4
Log 3[(x+4)(x-4)] = 2 Log2(x2)2-Log2(-x)2=4
Log 3(x2-16) = 2 Log 2x4 - Log 2x2 = 4
x2-16 = 32 Log 2(x4 /x2)=4
x2 = 9 + 16 x2 = 24
x2 = 25 x2 = 16
x = ± 5 x = ± 4
En la primer ecuación, solo se verifica la solución positiva: x=5, mientras que en la segunda solo la negativa: x=-4
En otras ecuaciones logarítmicas es necesario realizar un cambio de variable.
(Log 2x)2-5Log2x+4=0 Cambio de variable:
z = Log2x
Nueva ecuación a resolver: z2-5z+4=0, de la cual resulta z1=4 y z2=1. Utilizando el cambio de variable, tenemos las siguientes ecuaciones: Log2x = 4 y Log2x=1, de las que obtenemos, aplicando la definición de logaritmos: x1=16 y x2=2.
sábado, 18 de diciembre de 2010
antilogaritmos
Es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso al cálculo del logaritmo de un número.
es decir, consiste en elevar la base al número resultado :
jueves, 16 de diciembre de 2010
Logaritmos Decimales y Neperianos
De todas las posibles bases que pueden tomarse para los logaritmos, las más usuales son la base 10 y la base e.
Los logaritmos que tienen base 10 se llaman logaritmos decimales, logaritmos vulgares o logaritmos de Briggs, y para representarlos se escribe sencillamente log sin necesidad de especificar la base:
log10 X = log X
Las tablas que tradicionalmente se han usado para calcular logaritmos, son tablas de logaritmos decimales.
Se escriben a continuación algunos ejemplos de logaritmos decimales:
log 1 = 0; puesto que 100 = 1. log 10 000 = 4; puesto que 104 = 10 000.
log 10 = 1; puesto que 101 = 10. log 0,1 = -1; puesto que 10-1 = 0,1.
Los logaritmos que tienen base e se llaman logaritmos neperianos o naturales. Para representarlos se escribe ln o bien L:
loge X = ln X = LX
Algunos ejemplos de logaritmos neperianos son:
ln 1 = 0; puesto que e0 = 1
ln e2 = 2; puesto que e2 = e2
ln e-1 = -1; puesto que e-1 = e-1
El número e tiene gran importancia en las Matemáticas. No es racional (no es cociente de dos números enteros) y es el límite de la sucesión
Su valor, con seis cifras decimales, es
e = 2,718281...
http://www.youtube.com/watch?v=PlQO3wkWeWw&feature=related
leyes y tipos de logaritmos
1.) logb (MN) = logb M + logb N Ejemplo:
log2 (8x16) = log2 8 + log2 16
log2 128 = 3 + 4
7 = 7
2.) logb (M/N) = logb M – logb N Ejemplo:
log3 (27/3) = log3 27 – log3 3
log3 9 = 3 – 1
2 = 2
3.) logb Mn = n logb M Ejemplo:
log2 322 = 2 log2 32
log2 1024 = 2 ( 5 )
10 = 10
Logaritmos comunes
Logaritmos comunes son logaritmos con base 10. Si no se escribe la base, se sobreentiende que la misma es 10.
Esto es, log 1000 = log10 1000 = 3
Logaritmos naturales
Logaritmos naturales (ln) son logaritmos con base e=2.71828…
Esto es, ln 42 = loge 42
Logaritmos en otras bases
LogM N Ejemplo: Log3 56 = = 3.664
Tipos de problemas
Sólo hay tres tipos de problemas de logaritmos. Estos son:
1) Dados la base y el logaritmo, hallar el argumento (potencia).
Ejemplo: Log3 x = - 4
Solución: La forma exponencial equivalente a la forma dada es: 3-4 = x
(1/3)4 = x
1/81 = x
2) Dado el argumento y el logaritmo, hallar la base.
Ejemplo: Logx 2 = 1/5
Solución: Forma exponencial: x1/5 = 2
(x1/5))5 = 25
3) Dados el argumento y la base, hallar el logaritmo.
Ejemplo: Log2 7 = = 2.8…
Ecuaciones exponenciales
Ecuaciones exponenciales son aquellas que tienen la variable en el exponente. Para resolverlas hay que usar logaritmos para bajar el exponente.
Ejemplos: Resuelva las siguientes ecuaciones
1) 2x = 7
Solución: Aplicar logaritmos base 10 en ambos lados
log 2x = log 7
xlog 2 = log 7
x =
x = 2.8…
Uso de la calculadora para la combinatoria.
miércoles, 15 de diciembre de 2010
Principio de la caja de Dirichlet
Principio de distribución, del palomar o del cajón de Dirichlet. Sean m, n y p tres números naturales. Si se desean colocar np + m objetos en n cajas, alguna caja debe contener al menos p + 1 objetos.
Demostración. Si cada caja contiene como mucho p objetos, el número total de objetos que podemos colocar es np <>
En su versión más simple, este principio dice que no puede existir una aplicación inyectiva entre un conjunto de m elementos y otro de n elementos, si m > n. Equivalentemente, si se desean colocar m objetos en n cajas, con m > n, al menos una caja debe contener al menos 2 objetos.
Ejemplo:
Una oficina emplea a 13 oficinistas, por lo que al menos dos de ellos deben cumplir años durante el mismo mes.
Los 13 oficinistas son las palomas y los 12 meses del año son los nidos. A cada paloma le corresponde un nido (el mes en que cumple años). Como hay más palomas que nidos, hay al menos un nido (mes) con dos o más palomas (oficinistas que cumplen en ese mes).
Ejercicios:
1-Demuestre que si 8 personas están en una habitación, al menos dos de ellas cumplen años el mismo día de la semana.
2-En una lista de 600.000 palabras, donde cada palabra consta de 4 o menos letras minúsculas, ¿pueden ser las 600.000 palabras distintas?
3-Si una persona puede tener no más de 200.000 cabellos, ¿es posible que en una ciudad de 300.000 habitantes haya dos personas con la misma cantidad de cabellos en la cabeza?
4-¿Cuántas veces debemos tirar un sólo dado para obtener el mismo resultado?
a) al menos dos veces.
b) al menos tres veces.
c) al menos n veces, para
Respuestas correctas a los ejercicios:
1-
Las palomas son las personas y los nidos son los días de la semana. Como hay 8 palomas y 7 nidos, hay algún nido con más de una paloma, es decir, hay algún día de la semana en el cual cumplen años dos (o más) de esas personas.
2-
El número de palabras diferentes de 4 o menos letras es
274 + 273 + 272 + 27 = 551.880 (sumamos todas las palabras posibles de 4 letras, todas las palabras de 3 letras, todas las de dos letras y todas las de 1 letra.)
Las 551.880 palabras son los nidos y las 600.000 palabras de la lista son las palomas, por lo que al menos una palabra se repite.
3-
Si, es seguro que existen dos personas con la misma cantidad de cabellos.
Las palomas son las 300.000 personas y los nidos son las cantidades de cabellos (0,1,2,...,200.000). A cada "paloma" le corresponde uno de esos "nidos". Como hay más palomas que nidos, hay algún nido (cantidad) con más de una paloma (habitante).
4-
a)
Los "nidos" son los 6 resultados posibles (1,2,3,4,5,6). Las "palomas" son las tiradas, cada una de ellas "cae" en un nido.
La cantidad de palomas necesaria para que en alguno de los 6 nidos haya dos o más, es 7.
Alcanza con que el dado se tire 7 veces.
b)
Queremos que haya un nido con 3 o más palomas. Si hay 12 palomas (o menos) esto no está garantizado, pues podrían ubicarse dos en cada nido. Pero si hay 13 palomas está claro que tiene que haber 3 o más en algún nido.
||| || || || || ||
--- -- -- -- -- --
1 2 3 4 5 6
c)
Queremos que haya un nido con (al menos) n palomas. Podemos pensar qué cantidad máxima de palomas puede haber, sin la necesidad de que haya un nido con n palomas. Esto ocurre cuando hay n-1 palomas en cada nido, es decir
1
n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 n-1
--- --- --- --- --- ---
1 2 3 4 5 6
Se necesitan 6(n-1) + 1 tiradas.
Orígenes de los logaritmos
lunes, 13 de diciembre de 2010
Logaritmos
- La derivada de la función es . Al dividir ambos lados de la expresión entre "n" y observar el resultado, se puede afirmar que una primitiva de es (con ).
- Este cálculo obviamente no es válido cuando m = − 1, porque no se puede dividir por cero. Por lo tanto, la función inversa es la única función "potencia" que no tiene una primitiva "potencia".
- Sin embargo, la función es continua sobre el rango lo que implica que tiene forzosamente una primitiva en este intervalo, y también sobre .
Logaritmo es solo otra forma de expresar la potenciación ¿Qué es el logaritmo? El logaritmo es "EL EXPONENTE " |
http://www.youtube.com/watch?v=E3GBtsraomU
COMBINATORIA. Ejercicios aplicados a las técnicas de uso
- Ejemplo (Variaciones SIN repetición) :
¿Cuantos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?
Al tratarse de números el orden importa y además nos dice "cifras distintas" luego no pueden repetirse.
Por tanto, se pueden formar 504 números :
- Ejemplo (Variaciones CON repetición) :
¿Cuantos números de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?
Al tratarse de números el orden importa y además no dice nada sobre "cifras distintas" luego si pueden repetirse.
Por tanto, se pueden formar 729 números :¿Cuantas palabras distintas de 10 letras (con o sin sentido) se pueden escribir utilizando sólo las letras a, b?
Al tratarse de palabras el orden importa y además como son palabras de 10 letras y sólo tenemos dos para formarlas, deben repetirse.
Por tanto, se pueden formar 1024 palabras :
- Ejemplo (Permutaciones SIN repetición) :
Con las letras de la palabra DISCO ¿cuantas palabras distintas se pueden formar?
Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa. Y además n = m, es decir tenemos que formar palabras de cinco letras con cinco elementos D, I, S, C, O que no están repetidos.
Por tanto, se pueden formar 120 palabras :
- Ejemplo (Permutaciones CON repetición) :
¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules?
El orden importa por ser de distinto color, pero hay bolas del mismo color (están repetidas) y además n = m, es decir colocamos 9 bolas en linea y tenemos 9 bolas para colocar.
Por tanto, tenemos 1260 modos de colocarlas :
- Ejemplo (Combinaciones SIN repetición) :
Cuantos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los treinta alumnos de una clase. (Un grupo es distinto de otro si se diferencia de otro por lo menos en un alumno)
No importa el orden (son grupos de alumnos). No puede haber dos alumnos iguales en un grupo evidentemente, luego sin repetición.
Por tanto, se pueden formar 142506 grupos distintos :
- Ejemplo (Combinaciones CON repetición) :
En una confiteria hay cinco tipos diferentes de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro pasteles)
No importa el orden (son pasteles). Puede haber dos o más pasteles en un grupo, luego con repetición.
Por tanto, se pueden formar 142506 grupos distintos :
Diagrama en árbol.
COMBINATORIA.Tecnicas de recuento.
La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.
Las variaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.El número de variaciones que se pueden constriur se puede calcular mediante la fórmula:
Las variaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.El número de variaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:
Llamamos a las permutaciones con repetición de n elementos tomados de aen a, de b en b, de c en c, etc, cuando en los n elementos existen elementos repetidos (un elemento aparece a veces, otro b veces, otro c veces, etc) verificándose que a+b+c+...=n. El número de estas permutaciones será:
Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).El número de combinaciones que se pueden constriur se puede calcular mediante la fórmula:
Las combinaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los nelementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).El número de combinaciones que se pueden constriur se puede calcular mediante la fórmula:
Ejercicios sobre progresiones aritméticas y geométricas.
La suma de cierto cantidad de números impares consecutivos tomados a partir de 1, es 11.025. Calcular el último de los citados números impares.
Solución:
a1 = 1; d = 2; S = 11.025; an = ?
an = 1 + (n - 1) * 2; an = 1 + 2n - 2; an = 2n - 1
11.025 = (1 + an) * n / 2; 22.050 = (1 + 2n - 1) * n;
22.050 = 2n2; n2 = 11.025; n = 105
an = 2n - 1; an = 210 - 1; an = 209
Hallar la suma de los cincuenta primeros números que son múltiplos de cinco.
Solución:
Deberemos recordar que los múltiplos de 5 aumentan de 5 en 5, por lo tanto la diferencia entre dos números consecutivos es cinco. a1 = 5; an = ?; d = 5; S = ?; n = 50
an = a1 + (n - 1) * d; an = 5 + (50 - 1) * 5;
an = 5 + 49 * 5; an = 250
S = (5 + 250) * 50 / 2;
S = 255 * 25;
Progresiones geométricas:
El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progresión.
Solución:
a2= 6; a5= 48;
an = ak · r n-k
48 = 6 r5-2 ; r3 = 8; r = 2.
a1= a2 / r; a1= 6/2= 3
3, 6, 12, 24, 48, ...
Triángulo de Pascal
Prueba esto: empieza con un 1 de la izquierda, da un paso arriba y uno al lado, suma los cuadrados donde caigas (como en el dibujo)... las sumas que salen son la sucesión de Fibonacci.(La sucesión de Fibonacci se hace sumando dos números para conseguir el siguiente, por ejemplo 3+5=8, después 5+8=13, etc.)
Como referencia, aquí tienes las filas 0 a 14 del triángulo de Pascal ( el triángulo es simétrico).
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1
1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1
Binomio de Newton.
El teorema del binomio, descubierto hacia 1664-1665, fue comunicado por primera vez en dos cartas dirigidas en 1676 a Henry Oldenburg (hacia 1615-1677), secretario de la Royal Society que favorecía los intercambios de correspondencia entre los científicos de su época.
En la primera carta, fechada el 13 de junio de 1676, en respuesta a una petición de Leibniz que quería conocer los trabajos de matemáticos ingleses sobre series infinitas, Newton presenta el enunciado de su teorema y un ejemplo que lo ilustra, y menciona ejemplos conocidos en los cuales se aplica el teorema. Leibniz responde, en una carta fechada el 17 de agosto del mismo año, que está en posesión de un método general que le permite obtener diferentes resultados sobre las cuadraturas, las series, etc., y menciona algunos de sus resultados. Interesado por las investigaciones de Leibniz, Newton le responde también con una carta fechada el 24 de octubre en la que explica en detalle cómo ha descubierto la serie binómica.
Aplicando los métodos de Wallis de interpolación y extrapolación a nuevos problemas, Newton utilizó los conceptos de exponentes generalizados mediante los cuales una expresión polinómica se transformaba en una serie infinita. Así estuvo en condiciones de demostrar que un buen número de series ya existentes eran casos particulares, bien directamente, bien por diferenciación o integración.
El descubrimiento de la generalización de la serie binómica es un resultado importante de por sí; sin embargo, a partir de este descubrimiento Newton tuvo la intuición de que se podía operar con series infinitas de la misma manera que con expresiones polinómicas finitas. El análisis mediante las series infinitas parecía posible, porque ahora resultaban ser una forma equivalente para expresar las funciones que representaban.
Newton no publicó nunca el teorema del binomio. Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 en su Algebra, atribuyendo a Newton este descubrimiento.
El binomio de Newton sirve para calcular potencias de binomios y su formula es:
¿ Como desarrollar el binomio de forma práctica? Aquí os dejo una página web con algunos ejercicios resueltos para que practiqueis con ellos y lo comprendais más facilmente.
Miren principalmente los Ejercicios 1 y 2.
Progresiones Aritméticas
Ejercicios resueltos progresiones aritméticas
1
El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progesión.
a 4 = 10; a 6 = 16
a n = a k + (n - k) · d
16 = 10 + (6 - 4) d; d= 3
a1= a4 - 3d;
a1 = 10 - 9 = 1
1, 4, 7, 10, 13, ...
Ejercicios resueltos progresiones aritméticas
2
Escribir tres medios artméticos entre 3 y 23.
a= 3, b= 23;
d= (23-3)/(3+1) = 5;
3, 8, 13, 18, 23.
domingo, 12 de diciembre de 2010
Combinatoria
-Combinaciones.
-Permutaciones con repeticiones
-Permutaciones sin repeticiones
-Variaciones con repeticiones
1ºVideo: Combinaciones
2ºVideo: Permutaciones con repeticiones
3ºVideo: Permutaciones sin repeticiones
4ºVideo: Variaciones con repeticiones
Introducción a la combinatoria.
En estos videos se me muestra perfectamente, no son muy largos ni complicados, pero tienen una amplia y rápida teoría, con numerosos ejemplos y ejercicios.
1.
http://www.youtube.com/watch?v=0ye_s_es4BY
2.
http://www.youtube.com/watch?v=9-1-iVHNScQ&feature=related
3.
http://www.youtube.com/watch?v=794XCsHGw6c&feature=related
4.
http://www.youtube.com/watch?v=QCWUOzpt9NM&feature=related
No obstante, hagamos incapié teórico en el recuento y en las combinaciones con repetición y sin repetición.
-EL RECUENTO.
Definición: Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos). El número de combinaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula: |
Definición: Las combinaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos). El número de combinaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:
|
La historia de los números y la explicación de la sucesión de Fibonacci
En este capítulo habla sobre "Fibonacci"
¡Que lo disfruten!
1ºParte
2ºParte
sábado, 11 de diciembre de 2010
miércoles, 8 de diciembre de 2010
Sucesiones: Progresiones Aritmética y Geométrica
jueves, 2 de diciembre de 2010
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