domingo, 19 de diciembre de 2010

Gráficas de logaritmos

Ecuaciones logaritmicas

Una ecuación es Logarítmica cuando la incógnita está afectada por la logaritmación.

Para resolver ciertas ecuaciones logarítmicas se debe aplicar la definición de dicha operación. Luego de obtenidos los valores, se deben verificar, descartando aquellos que no cumplan con las condiciones de la logaritmación


Log 2(x-1) = -1

x-1 = 2-1

x= ½ + 1

x= 3/2

En algunas ecuaciones logarítmicas se deben aplicar las propiedades de la logaritmación para hallar la solución


Log 3(x+4)+Log3(x-4)=2 2Log2x2 -2Log3(-x)=4

Log 3[(x+4)(x-4)] = 2 Log2(x2)2-Log2(-x)2=4

Log 3(x2-16) = 2 Log 2x4 - Log 2x2 = 4

x2-16 = 32 Log 2(x4 /x2)=4

x2 = 9 + 16 x2 = 24

x2 = 25 x2 = 16

x = ± 5 x = ± 4

En la primer ecuación, solo se verifica la solución positiva: x=5, mientras que en la segunda solo la negativa: x=-4

En otras ecuaciones logarítmicas es necesario realizar un cambio de variable.

(Log 2x)2-5Log2x+4=0 Cambio de variable:
z = Log2x

Nueva ecuación a resolver: z2-5z+4=0, de la cual resulta z1=4 y z2=1. Utilizando el cambio de variable, tenemos las siguientes ecuaciones: Log2x = 4 y Log2x=1, de las que obtenemos, aplicando la definición de logaritmos: x1=16 y x2=2.

sábado, 18 de diciembre de 2010

antilogaritmos




Es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso al cálculo del logaritmo de un número.



es decir, consiste en elevar la base al número resultado :


  • Antilogaritmo :
  • jueves, 16 de diciembre de 2010

    Logaritmos Decimales y Neperianos

    LOGARITMOS DECIMALES Y LOGARITMOS NEPERIANOS

    De todas las posibles bases que pueden tomarse para los logaritmos, las más usuales son la base 10 y la base e.

    Los logaritmos que tienen base 10 se llaman logaritmos decimales, logaritmos vulgares o logaritmos de Briggs, y para representarlos se escribe sencillamente log sin necesidad de especificar la base:

    log10 X = log X

    Las tablas que tradicionalmente se han usado para calcular logaritmos, son tablas de logaritmos decimales.

    Se escriben a continuación algunos ejemplos de logaritmos decimales:

    log 1 = 0; puesto que 100 = 1. log 10 000 = 4; puesto que 104 = 10 000.
    log 10 = 1; puesto que 101 = 10. log 0,1 = -1; puesto que 10-1 = 0,1.


    Los logaritmos que tienen base e se llaman logaritmos neperianos o naturales. Para representarlos se escribe ln o bien L:

    loge X = ln X = LX

    Algunos ejemplos de logaritmos neperianos son:
    ln 1 = 0; puesto que e0 = 1
    ln e2 = 2; puesto que e2 = e2
    ln e-1 = -1; puesto que e-1 = e-1

    El número e tiene gran importancia en las Matemáticas. No es racional (no es cociente de dos números enteros) y es el límite de la sucesión



    Su valor, con seis cifras decimales, es
    e = 2,718281...

    http://www.youtube.com/watch?v=PlQO3wkWeWw&feature=related

    leyes y tipos de logaritmos

    Leyes de logaritmos

    1.) logb (MN) = logb M + logb N Ejemplo:

    log2 (8x16) = log2 8 + log2 16
    log2 128 = 3 + 4
    7 = 7
    2.) logb (M/N) = logb M – logb N Ejemplo:

    log3 (27/3) = log3 27 – log3 3
    log3 9 = 3 – 1
    2 = 2

    3.) logb Mn = n logb M Ejemplo:

    log2 322 = 2 log2 32
    log2 1024 = 2 ( 5 )
    10 = 10


    Logaritmos comunes

    Logaritmos comunes son logaritmos con base 10. Si no se escribe la base, se sobreentiende que la misma es 10.

    Esto es, log 1000 = log10 1000 = 3
    Logaritmos naturales

    Logaritmos naturales (ln) son logaritmos con base e=2.71828…
    Esto es, ln 42 = loge 42

    Logaritmos en otras bases
    LogM N Ejemplo: Log3 56 = = 3.664

    Tipos de problemas

    Sólo hay tres tipos de problemas de logaritmos. Estos son:

    1) Dados la base y el logaritmo, hallar el argumento (potencia).
    Ejemplo: Log3 x = - 4
    Solución: La forma exponencial equivalente a la forma dada es: 3-4 = x
    (1/3)4 = x
    1/81 = x

    2) Dado el argumento y el logaritmo, hallar la base.
    Ejemplo: Logx 2 = 1/5
    Solución: Forma exponencial: x1/5 = 2
    (x1/5))5 = 25

    3) Dados el argumento y la base, hallar el logaritmo.
    Ejemplo: Log2 7 = = 2.8…

    Ecuaciones exponenciales

    Ecuaciones exponenciales son aquellas que tienen la variable en el exponente. Para resolverlas hay que usar logaritmos para bajar el exponente.

    Ejemplos: Resuelva las siguientes ecuaciones

    1) 2x = 7
    Solución: Aplicar logaritmos base 10 en ambos lados

    log 2x = log 7
    xlog 2 = log 7
    x =
    x = 2.8…

    Uso de la calculadora para la combinatoria.

    Aquí os dejo un video que muestra como realizar calculos de combinatoria mediante la calculadora.

    miércoles, 15 de diciembre de 2010

    Tipos de Sucesiones y recopilación de fórmulas

    Sucesiones

    Principio de la caja de Dirichlet

    Principio del palomar :
    -El principio del palomar, también llamado principio de Dirichlet, establece que si n palomas se distribuyen en m palomares, y si n > m, entonces al menos habrá un palomar con más de una paloma. Otra forma de decirlo es que m huecos pueden albergar como mucho m objetos si cada uno de los objetos está en un hueco distinto, así que el hecho de añadir otro objeto fuerza a volver a utilizar alguno de los huecos.

    Principio de distribución, del palomar o del cajón de Dirichlet. Sean m, n y p tres números naturales. Si se desean colocar np + m objetos en n cajas, alguna caja debe contener al menos p + 1 objetos.

    Demostración. Si cada caja contiene como mucho p objetos, el número total de objetos que podemos colocar es np <>

    En su versión más simple, este principio dice que no puede existir una aplicación inyectiva entre un conjunto de m elementos y otro de n elementos, si m > n. Equivalentemente, si se desean colocar m objetos en n cajas, con m > n, al menos una caja debe contener al menos 2 objetos.

    Ejemplo:

    Una oficina emplea a 13 oficinistas, por lo que al menos dos de ellos deben cumplir años durante el mismo mes.
    Los 13 oficinistas son las palomas y los 12 meses del año son los nidos. A cada paloma le corresponde un nido (el mes en que cumple años). Como hay más palomas que nidos, hay al menos un nido (mes) con dos o más palomas (oficinistas que cumplen en ese mes).

    Ejercicios:

    1-Demuestre que si 8 personas están en una habitación, al menos dos de ellas cumplen años el mismo día de la semana.

    2-En una lista de 600.000 palabras, donde cada palabra consta de 4 o menos letras minúsculas, ¿pueden ser las 600.000 palabras distintas?

    3-Si una persona puede tener no más de 200.000 cabellos, ¿es posible que en una ciudad de 300.000 habitantes haya dos personas con la misma cantidad de cabellos en la cabeza?

    4-¿Cuántas veces debemos tirar un sólo dado para obtener el mismo resultado?

    a) al menos dos veces.

    b) al menos tres veces.

    c) al menos n veces, para n >= 4.

    Respuestas correctas a los ejercicios:

    1-

    Las palomas son las personas y los nidos son los días de la semana. Como hay 8 palomas y 7 nidos, hay algún nido con más de una paloma, es decir, hay algún día de la semana en el cual cumplen años dos (o más) de esas personas.

    2-

    El número de palabras diferentes de 4 o menos letras es
    274 + 273 + 272 + 27 = 551.880 (sumamos todas las palabras posibles de 4 letras, todas las palabras de 3 letras, todas las de dos letras y todas las de 1 letra.)
    Las 551.880 palabras son los nidos y las 600.000 palabras de la lista son las palomas, por lo que al menos una palabra se repite.

    3-

    Si, es seguro que existen dos personas con la misma cantidad de cabellos.
    Las palomas son las 300.000 personas y los nidos son las cantidades de cabellos (0,1,2,...,200.000). A cada "paloma" le corresponde uno de esos "nidos". Como hay más palomas que nidos, hay algún nido (cantidad) con más de una paloma (habitante).

    4-

    a)

    Los "nidos" son los 6 resultados posibles (1,2,3,4,5,6). Las "palomas" son las tiradas, cada una de ellas "cae" en un nido.
    La cantidad de palomas necesaria para que en alguno de los 6 nidos haya dos o más, es 7.
    Alcanza con que el dado se tire 7 veces.

    b)

    Queremos que haya un nido con 3 o más palomas. Si hay 12 palomas (o menos) esto no está garantizado, pues podrían ubicarse dos en cada nido. Pero si hay 13 palomas está claro que tiene que haber 3 o más en algún nido.

      ||| || || || || ||
      --- -- -- -- -- --
      1  2  3  4  5  6  
      


    Se necesitan 13 tiradas.

    c)

    Queremos que haya un nido con (al menos) n palomas. Podemos pensar qué cantidad máxima de palomas puede haber, sin la necesidad de que haya un nido con n palomas. Esto ocurre cuando hay n-1 palomas en cada nido, es decir 6(n-1) palomas. En este punto, si se agrega otra paloma, habrá n palomas en un nido.

    1

    n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 n-1    

    --- --- --- --- --- ---

    1  2  3  4  5  6
    Se necesitan 6(n-1) + 1 tiradas.


    Orígenes de los logaritmos


    Los logaritmos se atribuyen a John Napier. Publicó su trabajo en 1614 en el libro Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos).
    Napier era un terrateniente escocés (no era por lo tanto, un profesional de las matemáticas).
    Napier seguramente estudió las sucesiones de las potencias de un número y se percató que los productos y cocientes de dos números de dichas sucesiones son iguales a las potencias de las sumas o diferencias de los exponentes de dichos números (an.am = a(n+m)). Pero estas sucesiones no resultaban útiles para el cálculo porque entre dos potencias sucesivas había un hueco muy grande y la interpolación que había que hacer era muy imprecisa.
    Para conseguir que los términos de la progresión geométrica formada por las potencias enteras de un número estuviesen proximas, tomó un número muy próximo a 1 (Napier tomó el número 0,9999999 = 1- 10-7). Para evitar el uso de decimales multiplicó todas las potencias por 107. Entonces cualquier número a = 107(1-10-7)b . b sería el logaritmo de a.
    Napier llamó al principio a estos número artificiales, pero mas tarde se decidió por la unión de dos palabras griegas logos (razón) y arithmos (número).
    Este sistema de cálculo fue aceptado con gran rapidez. Entre los mas entusiastas estaba Henry Briggs. Briggs visitó a Napier en 1615 y entre los dos vieron la posibilidad de hacer algunas modificaciones.
    Briggs, en vez de tomar un número muy próximo a 1, partió de la igualdad log 10 = 1 y después fue calculando otros logartimos tomando raices sucesivamente (como la raiz cuadrada de 10 es 3,1622, entonces el logaritmo de 3,1622 es 2).
    En 1617 publicó Logarithnmorum chilias prima (Logaritmos de los números 1 al 1000) y en 1624 publicó Arithmetica logarithmica.

    lunes, 13 de diciembre de 2010

    Logaritmos

    Aqui podrán ver la definición de logaritmos en vídeo.

    Definición analítica

    Podemos introducir la función logarítmica como una función analítica que es de hecho la función primitiva de otra función analítica bien conocida. Para definir de esa manera el logaritmo empezamos con algunas observaciones:
    1. La derivada de la función f(x) = x^n \,\! es f^\prime(x) = nx^{n-1} \,\!. Al dividir ambos lados de la expresión entre "n" y observar el resultado, se puede afirmar que una primitiva de x^m \,\! es {x^{m+1}}/{m+1}\,(con m = n - 1\,).
    2. Este cálculo obviamente no es válido cuando m = − 1, porque no se puede dividir por cero. Por lo tanto, la función inversa 1/x\, es la única función "potencia" que no tiene una primitiva "potencia".
    3. Sin embargo, la función 1/x\, es continua sobre el rango(0, + \infty) lo que implica que tiene forzosamente una primitiva en este intervalo, y también sobre (- \infty, 0).
    A la función analítica cuya existencia se deduce de las observaciones anteriores la llamaremos función logaritmo, y la definiremos convencionalmente como:
    [\ln(x)]^\prime = \frac {1}{x}, \qquad \ln (1) = 0

    Definición de Logaritmos

    Logaritmo es solo otra forma de expresar la potenciación
    ¿Qué es el logaritmo?
    El logaritmo es "EL EXPONENTE "
    Logaritmos
    A las operaciones, ya conocidas, de Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Potenciación y Radicación, añadimos una nueva que llamamos Logaritmación.
    Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir : productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes.
    Como podemos ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente , hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos.
    La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del sistema de logaritmos. La potencia ab
    para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0.
    La función logarítmica (o función logaritmo) es una aplicación biyectiva del conjunto de los números reales positivos, sin el cero, en el conjunto de los números reales :

    http://www.youtube.com/watch?v=E3GBtsraomU

    COMBINATORIA. Ejercicios aplicados a las técnicas de uso

    • Ejemplo (Variaciones SIN repetición) :
    ¿Cuantos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?
    Al tratarse de números el orden importa y además nos dice "cifras distintas" luego no pueden repetirse.
    Por tanto, se pueden formar 504 números :
    • Ejemplo (Variaciones CON repetición) :
    ¿Cuantos números de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?
    Al tratarse de números el orden importa y además no dice nada sobre "cifras distintas" luego si pueden repetirse.
    Por tanto, se pueden formar 729 números :
    ¿Cuantas palabras distintas de 10 letras (con o sin sentido) se pueden escribir utilizando sólo las letras a, b?
    Al tratarse de palabras el orden importa y además como son palabras de 10 letras y sólo tenemos dos para formarlas, deben repetirse.
    Por tanto, se pueden formar 1024 palabras :
    • Ejemplo (Permutaciones SIN repetición) :
    Con las letras de la palabra DISCO ¿cuantas palabras distintas se pueden formar?
    Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa. Y además n = m, es decir tenemos que formar palabras de cinco letras con cinco elementos D, I, S, C, O que no están repetidos.
    Por tanto, se pueden formar 120 palabras :
    • Ejemplo (Permutaciones CON repetición) :
    ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules?
    El orden importa por ser de distinto color, pero hay bolas del mismo color (están repetidas) y además n = m, es decir colocamos 9 bolas en linea y tenemos 9 bolas para colocar.
    Por tanto, tenemos 1260 modos de colocarlas :
    • Ejemplo (Combinaciones SIN repetición) :
    Cuantos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los treinta alumnos de una clase. (Un grupo es distinto de otro si se diferencia de otro por lo menos en un alumno)
    No importa el orden (son grupos de alumnos). No puede haber dos alumnos iguales en un grupo evidentemente, luego sin repetición.
    Por tanto, se pueden formar 142506 grupos distintos :
    • Ejemplo (Combinaciones CON repetición) :
    En una confiteria hay cinco tipos diferentes de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro pasteles)
    No importa el orden (son pasteles). Puede haber dos o más pasteles en un grupo, luego con repetición.
    Por tanto, se pueden formar 142506 grupos distintos :

    Diagrama en árbol.



    Los diagramas en árbol son muy útiles para "fabricar" cualquier tipo de agrupación, ya sean variaciones, permutaciones o combinaciones.En el ejemplo aparece un diagrama en árbol que forma todas las permutaciones de los elementos del conjunto {a, b, c}.

    COMBINATORIA.Tecnicas de recuento.




    ¿Que es la combinatoria?

    La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.

    Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones,según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos:

  • Variaciones sin repetición.




  • Definición:
    Las variaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.El número de variaciones que se pueden constriur se puede calcular mediante la fórmula:




  • Variaciones con repetición.




  • Definición:
    Las variaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.El número de variaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:







  • Permutaciones SIN repetición:




  • Las permutaciones sin repetición de n elementos se definen como las distintas formas de ordenar todos esos elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación de sus elementos.




  • El número de estas permutaciones será:




  • Permutaciones con repetición.




  • Permutaciones CON repetición:
    Llamamos a las permutaciones con repetición de n elementos tomados de aen a, de b en b, de c en c, etc, cuando en los n elementos existen elementos repetidos (un elemento aparece a veces, otro b veces, otro c veces, etc) verificándose que a+b+c+...=n.
    El número de estas permutaciones será:




  • Combinaciones sin repetición.




  • Definición:
    Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).El número de combinaciones que se pueden constriur se puede calcular mediante la fórmula:




  • Combinaciones con repetición




  • Definición:
    Las combinaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los nelementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).El número de combinaciones que se pueden constriur se puede calcular mediante la fórmula:



  • Ejercicios sobre progresiones aritméticas y geométricas.

    Ptogresiones aritméticas:

    La suma de cierto cantidad de números impares consecutivos tomados a partir de 1, es 11.025. Calcular el último de los citados números impares.

    Solución:

    a1 = 1; d = 2; S = 11.025; an = ?

    an = 1 + (n - 1) * 2; an = 1 + 2n - 2; an = 2n - 1

    11.025 = (1 + an) * n / 2; 22.050 = (1 + 2n - 1) * n;

    22.050 = 2n2; n2 = 11.025; n = 105

    an = 2n - 1; an = 210 - 1; an = 209


    Hallar la suma de los cincuenta primeros números que son múltiplos de cinco.

    Solución:
    Deberemos recordar que los múltiplos de 5 aumentan de 5 en 5, por lo tanto la diferencia entre dos números consecutivos es cinco. a1 = 5; an = ?; d = 5; S = ?; n = 50

    an = a1 + (n - 1) * d; an = 5 + (50 - 1) * 5;

    an = 5 + 49 * 5; an = 250

    S = (5 + 250) * 50 / 2;

    S = 255 * 25;

    6375


    Progresiones geométricas:


    El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progresión.

    Solución:

    a2= 6; a5= 48;

    an = ak · r n-k

    48 = 6 r5-2 ; r3 = 8; r = 2.

    a1= a2 / r; a1= 6/2= 3

    3, 6, 12, 24, 48, ...


    Una explicación sobre las sucesiones.



    Triángulo de Pascal

    Sucesión de Fibonacci
    Prueba esto: empieza con un 1 de la izquierda, da un paso arriba y uno al lado, suma los cuadrados donde caigas (como en el dibujo)... las sumas que salen son la sucesión de Fibonacci.(La sucesión de Fibonacci se hace sumando dos números para conseguir el siguiente, por ejemplo 3+5=8, después 5+8=13, etc.)

    Las 15 primeras líneas:

    Como referencia, aquí tienes las filas 0 a 14 del triángulo de Pascal ( el triángulo es simétrico).
    1
    1 1
    1 2 1
    1 3 3 1
    1 4 6 4 1
    1 5 10 10 5 1
    1 6 15 20 15 6 1
    1 7 21 35 35 21 7 1
    1 8 28 56 70 56 28 8 1
    1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
    1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
    1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
    1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
    1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1
    1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1

    Binomio de Newton.

    - Teorema del binomio de Newton.

    El teorema del binomio, descubierto hacia 1664-1665, fue comunicado por primera vez en dos cartas dirigidas en 1676 a Henry Oldenburg (hacia 1615-1677), secretario de la Royal Society que favorecía los intercambios de correspondencia entre los científicos de su época.

    En la primera carta, fechada el 13 de junio de 1676, en respuesta a una petición de Leibniz que quería conocer los trabajos de matemáticos ingleses sobre series infinitas, Newton presenta el enunciado de su teorema y un ejemplo que lo ilustra, y menciona ejemplos conocidos en los cuales se aplica el teorema. Leibniz responde, en una carta fechada el 17 de agosto del mismo año, que está en posesión de un método general que le permite obtener diferentes resultados sobre las cuadraturas, las series, etc., y menciona algunos de sus resultados. Interesado por las investigaciones de Leibniz, Newton le responde también con una carta fechada el 24 de octubre en la que explica en detalle cómo ha descubierto la serie binómica.

    Aplicando los métodos de Wallis de interpolación y extrapolación a nuevos problemas, Newton utilizó los conceptos de exponentes generalizados mediante los cuales una expresión polinómica se transformaba en una serie infinita. Así estuvo en condiciones de demostrar que un buen número de series ya existentes eran casos particulares, bien directamente, bien por diferenciación o integración.

    El descubrimiento de la generalización de la serie binómica es un resultado importante de por sí; sin embargo, a partir de este descubrimiento Newton tuvo la intuición de que se podía operar con series infinitas de la misma manera que con expresiones polinómicas finitas. El análisis mediante las series infinitas parecía posible, porque ahora resultaban ser una forma equivalente para expresar las funciones que representaban.

    Newton no publicó nunca el teorema del binomio. Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 en su Algebra, atribuyendo a Newton este descubrimiento.

    El binomio de Newton sirve para calcular potencias de binomios y su formula es:
    (a+b)^n=\displaystyle\sum_{i=0}^{n} \dbinom{n}{i} a^{n-i}\cdot b^i









    ¿ Como desarrollar el binomio de forma práctica? Aquí os dejo una página web con algunos ejercicios resueltos para que practiqueis con ellos y lo comprendais más facilmente.


    Miren principalmente los Ejercicios 1 y 2.

    Espero que os haya sido útil.
    Un cordial saludo, Miriss.

    Progresiones Aritméticas

    Unos videos de introducción y unos ejercicios de las progresiones aritméticas. ¡Que os sean útiles!


    Ejercicios resueltos progresiones aritméticas

    1

    El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progesión.

    a 4 = 10; a 6 = 16

    a n = a k + (n - k) · d

    16 = 10 + (6 - 4) d; d= 3

    a1= a4 - 3d;

    a1 = 10 - 9 = 1

    1, 4, 7, 10, 13, ...


    Ejercicios resueltos progresiones aritméticas

    2

    Escribir tres medios artméticos entre 3 y 23.

    a= 3, b= 23;

    Interpolación

    d= (23-3)/(3+1) = 5;

    3, 8, 13, 18, 23.








    domingo, 12 de diciembre de 2010

    Combinatoria

    Bueno,aqui os dejo unos videos bastantes buenos,cortos y faciles de entender que nos hablan sobre la combinatoria. Los videos nos van a hablar sobre:
    -Combinaciones.
    -Permutaciones con repeticiones
    -Permutaciones sin repeticiones
    -Variaciones con repeticiones

    1ºVideo: Combinaciones

    2ºVideo: Permutaciones con repeticiones

    3ºVideo: Permutaciones sin repeticiones

    4ºVideo: Variaciones con repeticiones

    Introducción a la combinatoria.


    A menudo nos preguntamos qué utilizad tienen ciertas cosas, en nuestro ámbito ciertos cálculos matemáticos. Pues bien, veamos ahora como surgió la combinatoria y la conexión que tiene con la probabilidad.




    En estos videos se me muestra perfectamente, no son muy largos ni complicados, pero tienen una amplia y rápida teoría, con numerosos ejemplos y ejercicios.

    1.

    http://www.youtube.com/watch?v=0ye_s_es4BY
    2.
    http://www.youtube.com/watch?v=9-1-iVHNScQ&feature=related
    3.
    http://www.youtube.com/watch?v=794XCsHGw6c&feature=related
    4.
    http://www.youtube.com/watch?v=QCWUOzpt9NM&feature=related


    No obstante, hagamos incapié teórico en el recuento y en las combinaciones con repetición y sin repetición.

    -EL RECUENTO.



    A menudo se presenta la necesidad de calcular el número de maneras distintas en que un suceso se presenta o puede ser realizado. Otras veces es importante determinar la probabilidad de ocurrencia de un evento específico. En ambos casos se apela al sentido común, o se establecen métodos que permitan sistematizar tales cálculos. Con frecuencia el sentido común ayuda a entender por qué se eligió un procedimiento dado, mientras que la formalización del cálculo las vías para encontrar las soluciones apropiadas.


    Iniciaremos nuestro estudio de teoría combinatoria enunciando los principios aditivo y multiplicativo de conteo.


    Principio aditivo de conteo: Sean A y B dos sucesos que no pueden ocurrir simultáneamente. Si A ocurre de a maneras distintas y B ocurre de b maneras distintas, el número de maneras en el cual puede ocurrir A o B es A +B


    Principio multiplicativo de conteo: Si un suceso puede ocurrir en a maneras e, independientemente, un segundo suceso puede ocurrir en b maneras, entonces el número de maneras en que ambos, A y B, pueden ocurrir ab.


    A este principio también se le denomina principio fundamental de conteo.


    - DEFINICIONES DE COMBINACIONES SIN REPETICIÓN:

    Definición:
    Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).

    El número de combinaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:







    - DEFINICIÓN Y FORMULA DE VARIACIONES CON REPETICIÓN:






    Definición:
    Las combinaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).

    El número de combinaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:


    con repeticiónSI









    No obstante, en la siguiente página web se presenta un cuadro con las diferentes y más importantes agrupaciones estudiadas en la clase de Ampliación de Matemáticas.

    Sean estas combinaciones, permutaciones y variaciones.

    http://personal.iddeo.es/ztt/Tem/F4_Combinatoria.htm

    La historia de los números y la explicación de la sucesión de Fibonacci

    Serie española titulada "más por menos" que muestra las matemáticas de una forma entretenida e interesante
    En este capítulo habla sobre "Fibonacci"
    ¡Que lo disfruten!

    1ºParte



    2ºParte

    miércoles, 8 de diciembre de 2010

    Sucesiones: Progresiones Aritmética y Geométrica

    Hola, aquí embebo unos vídeos con ejemplos de progresiones aritméticas y geométricas, tal y como vimos en clase.
    En el vídeo explican como sacar el término general paso a paso.

    1º Vídeo: Progresión aritmética:


    2º Vídeo: Progresión geométrica:


    Aquí, para acabar, incluyo un último vídeo sobre Malthus y su obra, el Ensayo sobre el Principio de la Población:


    Espero que os sean útiles.